Czy liczba Pi się kończy?

Liczba Pi wzbudza niemałą ciekawość i przez wielu matematyków jest uznawana za najważniejszą na świecie. 14 marca obchodzi się Międzynarodowy Dzień Liczby π. Wybór tego dnia wynika z amerykańskiego zapisu daty 3.14. Żadna inna liczba nie została w taki sposób uhonorowana, więc Pi to rzeczywiście niezwykłe zjawisko!

Co to jest liczba Pi? Ile wynosi Pi? Ile lat ma liczba Pi? W szkole nauczymy się, że liczba Pi to stosunek obwodu koła do średnicy. Przez całą edukację używamy liczby Pi w geometrii do obliczania wzorów na pole koła, objętość walca lub kuli czy pole elipsy. Z Pi korzysta się w analizie matematycznej, teorii liczby i rachunku prawdopodobieństwa. Historia liczby Pi jest ciekawa, warto więc rozruszać nieco umysł i poznać ją bliżej!

Liczba Pi – ciekawostki z historii

Liczba Pi ma niezwykle bogatą historię, która rozpoczęła się już w czasach starożytnych w II tysiącleciu p.n.e. W tym okresie Babilończycy uważali, że liczba Pi jest równa 3. Świadczy o tym wiele odnalezionych informacji, poza tabliczką, na której widnieją obliczenia, że liczba Pi jest równa 3,125. Obecnie można znaleźć sprzeczne informacje na temat tego, jaką wartość ostatecznie stosowano w Babilonie: 3 czy 3,125, a może 4?

Przy pełnej wartości liczby Pi obstaje Biblia. Z 1. Księgi Królewskiej (7:23) można wywnioskować, że Pi jest równe 3. Być może jest to wynik zaokrąglenia zastosowanego przez autora, który nie był świadomy, jakie wywoła to zamieszanie w naszych czasach? Wartość liczby Pi, która składa się z 9 lub 10 cyfr, znana była już około 1400 roku n.e.

Pierwszy nowożytny wzór pozwalający obliczyć Pi to nieskończony iloczyn Johna Wallisa z 1655 roku. Naukowiec wsławił się czymś jeszcze w dziedzinie nauki, jaką jest matematyka – wprowadził stosowane dziś oznaczenie nieskończoności: ∞.

Liczba Pi obliczona przez komputer IBM w latach 60. XX w.

Symbol π wprowadził walijski matematyk William Jones w monografii Synopsis palmariorum mathesos w 1706 roku. Jej dokładnej wartości nikt nie jest w stanie spamiętać, choć podejmowano już wiele prób. W 1949 roku udało się wyliczyć dwa tysiące cyfr dziesiętnego rozwinięcia liczby Pi za pomocą formuły, która wykorzystuje szereg Taylora dla przybliżenia wartości funkcji arctan.

W 1961 roku z pomocą komputera IBM i poprawionej formuły Taylora poznano sto tysięcy cyfr. W 1989 roku nowszy komputer IBM złamał barierę miliarda cyfr rozwinięcia, natomiast w 2002 roku policzono ponad bilion cyfr.

Jak komputery kwantowe wpłyną na matematykę i liczbę Pi? Postęp dokonujący się na naszych oczach w informatyce, jest naprawdę olbrzymi. Choć już teraz wydaje się, że możliwości obliczeniowe komputerów są ogromne, to jednak są ograniczone. Idea nieograniczonego postępu technologicznego skupia uwagę na urządzeniu przyszłości, jakim jest komputer kwantowy. Czy technologia spowoduje kolejny przełom?

Pi jak piramidy

Zanim nastąpi era komputerów kwantowych, cofnijmy się w przeszłość do czasów, gdy powstawały piramidy. Kiedy to było? Jak podaje Wikipedia, piramidy w Gizie wzniesiono podczas czwartej dynastii w latach 2575–2465 r. p.n.e. Za najstarszą piramidę uznaje się tę, którą nazywa się grobowcem faraona Cheopsa lub Wielką Piramidą. Czy liczba Pi dała początek określeniu piramida? Ile wynosiło Pi dla budowniczych? Egipski Skryba Ahmes oszacował, że liczba Pi wynosi 3,1604. Wyliczono to jeszcze przed 1650 rokiem p.n.e., około 900 lat po powstaniu piramid.

Dla badaczy istnieją związki między wymiarami Wielkiej Piramidy a liczbą Pi. Kiedy uzbroimy się w kalkulator i dokonamy obliczeń, biorąc pod uwagę wysokość od podstawy do czubka i długość jednego boku podstawy, to na wyświetlaczu w pojawi się Pi. Może nie dokładnie, ale zobaczmy, o co chodzi. Gdy patrzy się na piramidę pod pewnym kątem, widać dwie ściany i stały punkt w postaci wierzchołka. Każda z bocznych ścian ma u swej podstawy 230,34 m. Wysokość piramidy od czubka do podstawy wynosi 146,70 m. Zsumujmy dwa widoczne przez obserwatora wymiary podstawy i podzielmy przez wysokość. 230,34 x 2 dzielone przez 146,70 daje… 3,140286. Każdy dostrzeże różnicę, ponieważ Pi to 3,141592, ale podobieństwo jest uderzające.

Jeśli chcemy kontynuować tę grę, to możemy sprawdzić koordynaty Wielkiej Piramidy. Są to 29.9792458°N 31.134658°E. Pierwsza wartość idealnie odpowiada prędkości światła. W piramidach może więc tkwić więcej informacji, niż obecnie bierze się pod uwagę.

Matematyka w poezji

Matematyka, a szczególnie hipoteza niewymierności liczby Pi, wpłynęła na naszą poetkę, laureatkę nagrody Nobla Wisławę Szymborską. To niesamowite, jak wszechstronna jest liczba Pi i w które zakamarki wyobraźni potrafi wędrować. Wróćmy jednak do twardo stąpających po ziemi matematyków, którzy uważają, że w rozwinięciu liczby π można znaleźć wszystkie liczby naturalne.

Poetycką wersję tej hipotezy odnajdziemy w wierszu zatytułowanym Liczba Pi. Liczby, których rozwinięcia zawierają wszystkie liczby naturalne, nazywa się liczbami Szymborskiej. Taką liczbą jest np. 0,1234567891011121314... A oto fragment wspomnianego utworu:

Liczba Pi

Podziwu godna liczba Pi

trzy koma jeden cztery jeden.

Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe

pięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy.

Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem,

osiem dziewięć obliczeniem,

siedem dziewięć wyobraźnią,

a nawet trzy dwa trzyosiem żartem, czyli porównaniem

cztery sześć do czegokolwiek

dwa sześć cztery trzy na świecie.

Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa.

(...)

Chińskie π

W średniowieczu liczbą Pi szczególnie interesował się chiński matematyk Liu Hui, który kontynuował wcześniejsze wyliczenia Archimedesa. Jak Archimedes obliczył Pi? Wielki badacz zajmował się tym zagadnieniem w III wieku p.n.e. Wyznaczył długość obwodu dwóch 96-kątów foremnych (jednego opisanego na okręgu, a drugiego wpisanego w ten okrąg) i określił liczbę Pi jako średnią z tych dwóch długości. Liu Hui stosując tę samą metodę, wskórał więcej i zbadał liczbę Pi dokładniej niż Archimedes, ustalając przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.

W czasach nowożytnych udało się poznać liczbę Pi jeszcze dokładniej. Dokonał tego William Rutherford i oszacował Pi aż do 440 miejsc po przecinku. Nie był on jednak rekordzistą. William Shanks uzyskał w swoich wyliczeniach 707 miejsc po przecinku, ale niestety popełnił błąd w obliczeniach. Ostatnie 180 cyfr naliczył źle mimo tego że pracował nad nią ponad 15 lat. Jeszcze bardziej może dziwić fakt, że badania nad liczbą Pi nadal trwają, jest więc jeszcze coś do odkrycia!

Ile wynosi Pi dzisiaj?

Dzisiaj wyliczenia są wykonywane za pomocą komputerów i oprogramowania. Ostatnie miały miejsce w ubiegłym roku i dokonał ich Timothy Mullican. Udało mu się rozwinąć liczbę Pi aż do 50 bilionów miejsc po przecinku. Pewnie wielu zainteresuje to, że obliczenia trwały równo 303 dni i były przeprowadzone za pomocą programu y-cruncher. Liczba Pi nie kończy się, bo to liczba nieskończona.

Dzisiaj stosuje się skrót 3,14, a czasami możemy spotkać się z przybliżeniem 3,14159. Każdego roku 14 marca liczba Pi przypomina o sobie szerzej, a matematyka nie ustaje w odkrywaniu jej znaczenia. Być może za rok lub kilka lat dotychczasowe odkrycia przejdą do lamusa, jak obliczenia egipskiego skryby Ahmesa, autora papirusu Rhinda – najstarszej odnalezionej pracy matematycznej w historii naszej cywilizacji.