Przykłady i zastosowanie w zadaniach

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów należą do najważniejszych zagadnień trygonometrii, ponieważ pozwalają obliczać długości boków oraz miary kątów w trójkątach. Uczniowie poznają te wzory w szkole średniej, jednak ich praktyczne zastosowanie często sprawia trudność. Z uwagi że zadania z tego działu pojawiają się na sprawdzianach oraz egzaminach maturalnych, warto dobrze zrozumieć ich sens oraz sposób stosowania. Zacznij naukę już dziś, zapisz siebie, zapisz dziecko na kurs przedmiotowy, zapewnij mu lepszy start.

Matematyka wymaga systematycznego ćwiczenia, ponieważ wiele działów opiera się na wcześniejszych pojęciach. Jednak uczniowie często napotykają trudności podczas rozwiązywania zadań geometrycznych. Dlatego coraz większą popularnością cieszą się korepetycje z matematyki. Z oferty MOOSE Polecane Korepetycje korzystają uczniowie z wielu miast Polski, między innymi Białystok, Bydgoszcz, Częstochowa, Gdańsk, Gdynia, Katowice, Kraków, Rzeszów, Lublin, Łódź, Poznań, Szczecin, Toruń, Warszawa oraz Wrocław. Zacznij naukę już dziś, zapisz siebie, zapisz dziecko na kurs przedmiotowy.

Czym jest twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów opisuje zależność między długościami boków trójkąta a sinusami kątów leżących naprzeciw tych boków. Z uwagi że relacja ta występuje w każdym trójkącie, wzór ten ma bardzo szerokie zastosowanie.

Dla trójkąta o bokach a, b, c oraz kątach α, β, γ zachodzi zależność:

a / sin α = b / sin β = c / sin γ

Jednak warto pamiętać, że twierdzenie sinusów jest szczególnie wygodne w zadaniach, w których znamy jeden bok i dwa kąty.

Kiedy stosujemy twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów stosuje się wtedy, gdy znamy dwa kąty i jeden bok trójkąta. Jednak można je również wykorzystać, gdy znamy dwa boki oraz kąt naprzeciw jednego z nich.

Z uwagi że wzór jest symetryczny, można z niego obliczyć zarówno długości boków, jak i miary kątów.

Dlatego twierdzenie sinusów jest bardzo przydatne w zadaniach trygonometrycznych.

Przykład zadania z twierdzeniem sinusów

Rozważmy trójkąt, w którym:

• kąt α = 30°
• kąt β = 60°
• bok a = 5

Chcemy obliczyć długość boku b.

Stosujemy twierdzenie sinusów:

a / sin α = b / sin β

Podstawiamy dane:

5 / sin 30° = b / sin 60°

Jednak sin 30° = 0,5, a sin 60° ≈ 0,866.

Z uwagi że po przekształceniu otrzymujemy b ≈ 8,66.

Czym jest twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów jest rozszerzeniem twierdzenia Pitagorasa. Jednak stosujemy je w każdym trójkącie, nie tylko w prostokątnym.

Wzór ma postać:

a² = b² + c² − 2bc cos α

Z uwagi że wzór ten uwzględnia miarę kąta między bokami, pozwala obliczać brakujące elementy trójkąta.

Kiedy stosujemy twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów stosujemy wtedy, gdy znamy długości dwóch boków oraz kąt między nimi.

Jednak można je również wykorzystać do obliczenia kąta w trójkącie.

Z uwagi że wzór zawiera cosinus kąta, jego zastosowanie jest bardzo uniwersalne.

Przykład zadania z twierdzeniem cosinusów

Rozważmy trójkąt o bokach:

• b = 6
• c = 8
• kąt α = 60°

Obliczamy bok a.

a² = 6² + 8² − 2·6·8·cos 60° = 36 + 64 − 96·0,5

a² = 100 − 48 = 52

Z uwagi że a ≈ 7,21.

Różnice między twierdzeniem sinusów a cosinusów

Oba twierdzenia dotyczą trójkątów. Jednak stosujemy je w różnych sytuacjach.

• twierdzenie sinusów stosujemy, gdy znamy kąty
• twierdzenie cosinusów stosujemy, gdy znamy dwa boki i kąt

Z uwagi że właściwy wybór wzoru ułatwia rozwiązanie zadania, warto dobrze rozumieć oba twierdzenia.

Zastosowanie w zadaniach maturalnych

Twierdzenie sinusów oraz cosinusów często pojawia się na egzaminie maturalnym.

Jednak zadania wymagają także znajomości funkcji trygonometrycznych.

Z uwagi że w arkuszach egzaminacyjnych pojawiają się także zadania geometryczne, umiejętność stosowania tych wzorów jest bardzo ważna.

Dlaczego uczniowie mają trudności z tym działem

Trygonometria wymaga zrozumienia wielu zależności matematycznych.

Jednak uczniowie często zapamiętują wzory bez zrozumienia.

Z uwagi że zadania wymagają analizy trójkąta, pojawiają się trudności w wyborze właściwego wzoru.

Dlatego korepetycje z matematyki pomagają uporządkować wiedzę oraz przećwiczyć różne typy zadań.

Jak skutecznie uczyć się trygonometrii

Nauka trygonometrii wymaga regularnego rozwiązywania zadań.

Jednak ważne jest również zrozumienie zależności geometrycznych.

Z uwagi że indywidualna praca z nauczycielem pozwala szybciej opanować materiał, wielu uczniów wybiera korepetycje.

Dzięki temu łatwiej przygotować się do sprawdzianów oraz egzaminów.

Podsumowanie

Twierdzenie sinusów i cosinusów są podstawowymi narzędziami trygonometrii. Jednak ich zrozumienie wymaga praktyki oraz analizy przykładów.

Z uwagi że pojawiają się w wielu zadaniach matematycznych, ich znajomość jest bardzo ważna.

W podsumowaniu można powiedzieć, że systematyczne ćwiczenia pozwalają szybko opanować ten dział matematyki.

O autorze: Grzegorz Kuzyk

Grzegorz Kuzyk — prawnik, ekspert HR, finansów i zarządzania oraz rynku nieruchomości zagranicznych i przedsiębiorca międzynarodowy. Współzałożyciel Moose.pl, Moose.it, Moose.de, MooseCasaItalia.com, Moose.net.br, ApartamentoBrasil.com oraz Polecanekorepetycje.pl.

Zapraszamy do naszych Oddziałów w Polsce:

Augustów, Będzin, Bełchatów, Biała Podlaska, Białystok, Bielsko, Biała, Brzeg, Brzeg Dolny, Bydgoszcz, Bytom, Chełm, Chełmno, Chojnice, Chorzów, Chrzanów, Ciechanów, Czechowice-Dziedzice, Czeladź, Częstochowa, Dąbrowa Górnicza, Elbląg, Ełk, Garwolin, Gdańsk, Gdynia, Gliwice, Głogów, Gniezno, Gorzów Wielkopolski, Grójec, Grudziądz, Iława, Inowrocław, Jastrzębie-Zdrój, Jaworzno, Jelcz-Laskowice, Jelenia Góra, Kalisz, Katowice, Kędzierzyn-Koźle, Kęty, Kielce, Knurów, Koło, Kołobrzeg, Konin, Konstancin-Jeziorna, Kościan, Koszalin, Kraków, Kutno, Kwidzyn, Legionowo, Legnica, Leszno, Łochowo, Łódź, Łomianki, Łomża, Lubartów, Lubin, Lublin, Marki, Mielec, Mogilno, Morąg, Mysłowice, Nowa Ruda, Nowa Sól, Nowy Sącz, Nysa, Oborniki Śląskie, Oława, Oleśnica, Olkusz, Olsztyn, Opole

Osielsko, Ostróda, Ostrołęka, Ostrowiec Świętokrzyski, Ostrów Wielkopolski, Otwock, Pabianice, Pawłowice, Piaseczno, Piastów, Piekary Śląskie, Piła, Piotrków Trybunalski, Płock, Płońsk, Police, Polkowice, Poznań, Pruszcz Gdański, Pruszków, Przemyśl, Pszczyna, Puławy, Pułtusk, Racibórz, Radom, Reda, Ruda Śląska, Rumia, Rybnik, Rzeszów, Siedlce, Siemianowice Śląskie, Sieradz, Skarżysko-Kamienna, Skierniewice, Słupsk, Sochaczew, Sopot, Sosnowiec, Stalowa Wola, Starachowice, Stargard, Stargard Gdański, Suwałki, Swarzędz, Świdnica, Świdnik, Świecie, Świętochłowice, Szczecin, Szczytno, Sztum, Szubin, Tarnów, Tarnowskie Góry, Tczew, Tomaszów Mazowiecki, Toruń, Trzebnica, Trzebinia, Tychy, Wałbrzych, Warszawa, Wejherowo, Wieliczka, Wodzisław Śląski, Wolbrom, Władysławowo, Włocławek, Wrocław, Września, Ząbki, Zabrze, Zamość, Zawiercie, Zgierz, Zielona Góra, Złotów, Żory